Sposoby rozkładu wielomianów na czynniki: Wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias Grupowanie wyrazów wielomianu Inne sposoby rozkładu wielomianu na czynniki 0 sin lim 1 0 lim 1 tg 0 arcsin lim 1 0 arc lim 1 tg lim 1 a a e 0 ln 1 lim 1 0 log 1 lim loga ae 0 1 lim 1 e Są na to 2 sposoby, których możesz używać do rozwiązywania konkretnych zadań: 1. Oblicz granice jednostronne i sprawdź, czy są sobie równe. Jeśli są, to granica istnieje, a jeżeli nie, to granica funkcji nie istnieje. Przykład. Niech funkcja f(x) będzie określona następująco: Granice ciągów-wzory . 1 Pages • 75 Words • PDF • 83.8 KB . 2 granice i Proctor 2015 . Wzory na granice . Rozwiązanie. W dużym lotku losowanych jest 6 liczb z 49 - nie jest możliwe powtarzanie tych samych liczb oraz kolejność losowanych liczb nie ma znaczenia (jeśli trafisz 6 to nieważne w jakiej kolejności były trafione liczby). Zatem do obliczenia liczby możliwych wyników użyjemy wzoru na kombinacje 6-elementowe ze zbioru 49 Zadanie 1. (1 pkt) Objętość prostopadłościanu obliczamy jako. Zaznacz prawidłową odpowiedź: Sumę pól wszystkich ścian prostopadłościanu. Iloczyn pola powierzchni oraz pola ściany bocznej. Iloczyn długości, szerokości i wysokości prostopadłościanu. Iloraz długości, szerokości i wysokości prostopadłościanu. Lekcja 4: Konstruowanie ciągów geometrycznych. Jawne i rekurencyjne wzory na ciąg geometryczny. Wzory rekurencyjne dla ciągów geometrycznych. Wzory jawne ciągów geometrycznych. Zamiana rekurencyjnej i jawnej postaci wzoru ciągu geometrycznego. Zamiana rekurencyjnej i jawnej postaci wzoru ciągu geometrycznego. Ciągi geometryczne . Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów Dane są ciągi \( \left( a_{n} \right) \) i \( \left( b_{n} \right) \) określone dla \( n\geq 1 \) Jeśli \( \lim_{n \rightarrow \infty } a_{n} =a \) oraz \( \lim_{n \rightarrow \infty } b_{n} =b \), to: \[ \lim_{n\rightarrow\infty }\left( a_{n}+b_{n} \right) =a+b \]\[ \lim_{n \rightarrow \infty }\left( a_{n}-b_{n} \right) =a-b \]\[ \lim_{n \rightarrow \infty }\left( a_{n}*b_{n} \right) =a*b \] Jeżeli ponadto \( b_{n}\neq 0 \) dla \( n\geq 1 \) oraz \( b\neq 0 \), to: \[ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{a}{b} \] Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \( \left(a_{n} \right) \), określony dla \( n\geq 1 \), o ilorazie \( q \). Niech \( S_{n} \) oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu \( \left(a_{n} \right) \), to znaczy ciąg określony wzorem \( S_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n} \) dla \( n\geq 1 \). Jeżeli \( \left|q \right|<1 \), to ciąg \( \left(S_{n} \right) \) ma granicę. \[ S=\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}=\frac{a_{1}}{1-q} \] Tę granicę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu \( \left(a_{n} \right) \). Udowodnij wzór-granica ciągu Agnieszka: 7n udowodnij granicę lim przy n→∞ =7 n+1 19 paź 18:27 Grześ: 7n n 7 lim przy n→∞ =* n+1 n Teraz już potrafisz udowodnić 19 paź 18:31 Agnieszka: niestety nie 19 paź 18:32 g: pod n podstawia sie 0? 19 paź 18:32 Grześ: 1 Masz tam ułamek taki ułamek przy n→∞ redukuje się do zera n 19 paź 18:33 Agnieszka: ja w ogóle nie rozumie tych granic 19 paź 18:33 g: pierwsze n nad n skraca Ci sie a pozniej zostaje 7 przez 1=0 czyli wychodzi 7 19 paź 18:33 Grześ: n Ten ułamek skraca się i on nie jest brany pod uwagę n 19 paź 18:33 Agnieszka: aha ok 19 paź 18:34 Grześ: Masz agnieszka gg Wytłumacze ci ogólne pojęcie granic 19 paź 18:34 g: ale własnie czym to sie rozni moze wyjsc cos innego do podstawienia? 19 paź 18:34 Grześ: Albo zaczerpnij wiedze z tutejszego forum 19 paź 18:34 Agnieszka: Dzięki bardo 19 paź 18:34 g: a mozesz tutaj bo tez chcialabym zrozumiec 19 paź 18:34 Agnieszka: bardzo* 19 paź 18:34 Grześ: W tym przypadku, przy takim ułamku wyłącza się zawsze jak największą potęgę przed ułamek 19 paź 18:35 g: cos napisac o tych granicach bo czytam to co jest na forum i nic nie kumam 19 paź 18:35 g: to ze przed ulamek ok rozumiem ale co jest z tym zerem 19 paź 18:35 Agnieszka: mam mam 19 paź 18:35 Grześ: Przy takiej granicy jak masz tutaj, czyli z ułamkiem, z licznika i mianownika wyłączasz zawsze największą możliwą potęgę, a potem liczysz granice. Wszystkie ułamki, które w mianowniku maja n skracają się do zera, a z tej częsci co zostało liczymy granicę. W miarę łopatologicznie to wyjaśniłem 19 paź 18:36 Agnieszka: ja na zadanie domowe mam aż 13 przykładów do zrobienia z tych granic ciągów ojojo 19 paź 18:36 g: albo jak mialbys przyklad taki 2n−7=∞ 19 paź 18:36 Agnieszka: no ja juz teraz to rozumiem wypisałam sobie te podstawowe twierdzenia itp. 19 paź 18:37 g: to ze wyciagasz najwieksza potege i co dalej sie robi kumam ale zawsze jest n−>∞? 19 paź 18:37 Grześ: To to jest ciąg nieskończony, sam spójrz.... 19 paź 18:37 Grześ: Różnie jest, ale przy granicy ciągu jest ∞, ale są też granice funkcji itp.... 19 paź 18:38 g: milo mi gosia jestem 19 paź 18:38 g: pogubie sie w tym wszystkim dopiero to zaczynam a juz sie gubie 19 paź 18:38 g: an = √n+2 −√n oblicz granice 19 paź 18:41 Agnieszka: a jak zabrać sie za to ? n√2n3 −1 /√2n3 −1 19 paź 18:42 Grześ: W tym przykładzie musisz skorzystać z tego: a2−b2=(a+b)(a−b) 19 paź 18:43 Grześ: to jest dla g 19 paź 18:43 Agnieszka: te granice ciągów to moja pieta achillesowa ehh... 19 paź 18:43 Grześ: Masz to g 19 paź 18:45 Agnieszka: 2n +5 albo i to razem do potęgi n (ma wyjść +∞) n + 2 19 paź 18:46 gosia: czyli tak (√n+2)2 − (√n)2 an = = √n+2+√n 19 paź 18:48 gosia: tak zaczac? 19 paź 18:48 Grześ: gosia masz dobrze, teraz wyłącz największe potęgi 19 paź 18:49 gosia: n+2−n 2 = = √n+2+√n √n+2+√n 19 paź 18:50 gosia: czyli nie tak juz wczesniej musze wylaczyc? 19 paź 18:50 gosia: √n ? 19 paź 18:51 Grześ: Dobrze zrobiłaś, teraz hmm, coś z mianownikiem pokombinować trzeba. Spróbuj √n powyłączać 19 paź 18:51 gosia: bede za jakies gora 40 min wroce i bede dalej rozkminiac i uczyc sie granic ciagow 19 paź 18:52 Grześ: Agnieszka, daj jakiś przykład, z Tobą coś zrobię i spadać będę 19 paź 18:53 gosia: ale co dalej nic mi sie nie skroci 19 paź 18:54 gosia: gdybym mogla to bym zostala i dalej tlumaczyla ale zaraz wracam do domu i wtedy wejde na neta i tutaj 19 paź 18:55 Agnieszka: już pisałam wcześniej 19 paź 18:59 Agnieszka: napisałam 2 przykłady które mam na zadanie domowe 19 paź 19:00 Agnieszka: jesteś Grzesiu 19 paź 19:01 Jack: dawaj je, coś poradzimy. Przepisz je jeszcze raz dla czytelności. 19 paź 19:03 Grześ: Chyba tak on wyglądał... Hmm, nie mam pomysłu, nie wiem dokładnie jak się zachowuje pierwiastek stopnia n−tego, może ktoś będzie wiedzieć 19 paź 19:04 Jack: n√n3≤n√2n3−1≤n√2n3 limn→∞ n√n*n√n*n√n=1*1*1=1 limn→∞ n√2n3=n√2*n√n*n√n*n√n=1*1*1*1=1 Zatem środek też biega do 1. 19 paź 19:07 Jack: To wczesniejsze to rozpisanie samego licznika, ale to nic nie daje, bo mianownik jest rozbieżny więc nie można zastosować wzoru na iloraz granic. Może wiec tak. (2n3−1)1n−12=(1+2n3−2)2−n2n= =(1+2n3−2)12n3−2*(2n3−2)*(2−n2n)= =e(2n3−2)*(2−n2n)=e(2−n)(4n4−4n)2n→∞ 19 paź 19:15 Jack: ups... ostatnie przejście: e−4n5+4n2+8n4−8n2n→ 0 (bo e−∞→0) 19 paź 19:18 Agnieszka: dzięki bardzo * 19 paź 19:34 WZORY Z GRANIC CIĄGÓW, FUNKCJI I ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW ANALIZA MATEMATYCZNA- opracowała Joanna Pomianowska 1. działania na „nieskończonościach” +∞∙𝑎= +∞, gdy 𝑎> 0−∞, gdy 𝑎 1 nie istnieje, gdy 𝑎≤−1 lim𝑛→∞ 𝑎𝑛= 1 lim𝑛→∞ 𝑛𝑛= 1 4. granice funkcji lim𝑥→±∞ 1 + 𝑘𝑥 𝑥=𝑒𝑘 5. kryteria zbieżności szeregów 𝑎𝑛∞𝑛=1 o wyrazach 𝑎𝑛 dodatnich Cauchy’ego lim𝑛→∞ 𝑎𝑛𝑛 1 szereg rozbieżny = 1 przypadek wątpliwy d’Alemberta lim𝑛→∞𝑎𝑛+1𝑎𝑛 1 szereg rozbieżny = 1 przypadek wątpliwy 𝑎𝑛∞𝑛=1 ≤ 𝑏𝑛∞𝑛=1 1 , szereg zbieżny 0 < 𝛼≤1 , szereg rozbieżny ∞𝑛=16. Przydatne wzory 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑎 𝑥−𝑥1 𝑥−𝑥2 Granicą ciągu nazywamy wartość, w której otoczeniu znajdują się prawie wszystkie wyrazy danego ciągu. Granicę ciągu \(a_n\) zapisujemy w postaci: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n}\). W przypadku prostych ciągów, liczenie granicy jest niezwykle banalne. Wystarczy policzyć kilka pierwszych wyrazów, aby łatwo zgadnąć do jakiej liczby zbieżny jest dany ciąg. Przykładowo: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} {1 \over n}}\) \(n\) 1 2 3 4 \({ \rightarrow \infty}\) \({1 \over n}\) 1 \({1 \over 2}\) \({1 \over 3}\) \({1 \over 4}\) \({\rightarrow 0}\) Warto wspomnieć, że ciąg może być rozbieżny do \({+\infty} \) lub \({- \infty}\); może również nie mieć granicy w ogóle. Podstawowe własności granicy ciągu: Jeżeli a jest dowolną liczbą rzeczywistą oraz \({|a| 1\), to: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} a^n = \infty}\). Jeżeli \(a>0\), to \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}} =1\). Niech \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n} = a\) oraz \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = b}\), wtedy: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n)} = a+b\) \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n - b_n)} = a-b\) \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)} = {a \cdot b}\) \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} {a_n \over {b_n}}} = {a \over b}\) (oczywiście \({b_n \neq 0, b \neq 0}\)) Przykładowo, jak wyznaczyć granicę ciągu \(a_n= {1 \over n} +5\)? \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} ({1 \over n} +5)}\) Wiemy, że w tym przypadku \({{1 \over n} \quad \rightarrow \quad 0}\), zatem: \({\displaystyle \lim_{n \to \infty} ({1 \over n} +5)} = 5\). Inną definicją granicy ciągu z jaką możemy się spotkać jest: Stałą liczbę g nazywamy granicą ciągu, jeśli: \({\forall_{\epsilon >0} \exists_{ N }\forall_{ n>N}} |a_n - g|N, spełniony jest warunek \(|a_n - g| <{\epsilon}\). Warto o tym wspomnieć, ponieważ zdarza się rozwiązywać granice ciągów z tej definicji. Granica ciągu geometrycznego malejącego Nieskończenie wielu klientów wchodzi do baru. Pierwszy zamawia jedno piwo, drugi zamawia pół piwa, trzeci - ćwierć, itd. Barman stawia na blacie dwa piwa - klienci nie kryją oburzenia: Tylko tyle? Jak mamy się tym niby …? Na co barman odpowiada: Dajcie spokój, musicie znać swoją granicę. Barman dobrze rozliczył swoich klientów? Jaką granicę powinni znać klienci? Poniższa animacja przedstawia całą sytuację w jaki sposób powstaje drugie piwo. Rozwiązanie: Nieskończony klient zamówi odpowiednią ilość piwa bliską 0. Zatem jak wskazuje granica barman dobrze rozliczył swoich klientów podając 2 piwa. Post nr 285

wzory na granice ciągów